آزمون مقایسه میانگین های دو جامعه )نمونه های بزرگ(

آزمون مقایسه میانگین های دو جامعه )نمونه های بزرگ( فرض کنید جمعیت یک دارای میانگین و انحراف معیار اندازه µ و انحراف معیار σ باشد و جمعیت 2 دارای میانگین µ2 σ2 باشند نمونه های تصادفی مستقل از این دو جامعه انتخاب می کنیم نمونه با n دارای میانگین از جمعیت دارای میانگین در سطح α انجام دهیم. و انحراف معیار S2 X 2 X و انحراف معیار S و نمونه 2 با اندازه n2 از جمعیت 2 استخراج می کنیم )30 n( تا آزمون های زیر را, n2 برای تصمیم گیری در این مورد ابتدا آماره آزمون را از رابطه زیر بدست می آوریم: Z = x 2 x σ (x2 x ), σ (x2 x ) = σ 2 + σ 2 2 n n 2 σ2 و σ توجه: اگر معلوم نباشند از S2 و S استفاده می کنیم. سپس نحوه تصمیم گیری به صورت زیر خواهد بود. )اگر شرایط زیر برقرار باشد فرض صفر رد می شود در غیر اینصورت فرض صفر قابل قبول بوده و فرض مقابل رد می شود( { H 0: μ = μ 2 H : μ μ 2 Z > Zα 2 ( آزمون دوطرفه { H 0: μ μ 2 H : μ > μ 2 Z > Z α 2( آزمون یک طرفه راست { H 0: μ μ 2 H : μ < μ 2 Z < Z α 3( آزمون یک طرفه چپ H0: یعنی بین میانگین جامعه هایی که نمونه ها از آنها استخراج شده تفاوت معناداری وجود ندارد. H: یعنی بین میانگین جامعه هایی که نمونه ها از آنها استخراج شده تفاوت معناداری وجود دارد.

مثال: محققی می خواهد تفاوت بین میانگین های دو جامعه را بررسی کند که آیا تفاوتی وجود دارد یا نه برای این منظورنمونه های تصادفی مستقل و بزرگ انتخاب می کنیم از جامعه اول نمونه 222 تایی که میانگین آن 5532 و واریانس آن 52 و از جامعه دوم نمونه 252 تایی که میانگین آن 92 و واریانس آن 5482 می باشد. آزمون را در سطح خطای 5 درصد بررسی کنید. مثال: به منظور مقایسه دو روش تدریس ریاضی دو گروه از دانش آموزان یک مقطع تحصیلی را بطور تصادفی انتخاب کردند به گروه اول که 82 نفر بودند با روش اول و به گروه دوم که 82 نفر بودند با روش دوم تدیس صورت گرفت پس از مدتی آزمونی مشترک برای هر دو گروه برگزار کردند نتیج به شرح زیر می باشد. واریانس 5/2 واریانس 5/2 گروه : میانگین 42 گروه 2 : میانگین 4

آزمون مقایسه میانگین های دو جامعه )نمونه های کوچک( آزمون مقایسه میانگین های دو جامعه برای نمونه های کوچک )30 می گردد. n( به دو صورت بررسی, n2 الف( آزمون جفت نشده یا مستقل: جمعیت می باشد. هدف از این آزمون آزمودن امکان وجود میانگین یکسان در دو ب( آزمون جفت شده یا همبسته: هدف این آزمون بررسی امکان وجود میانگین یکسان در دو جمعیت در حالی است که هر اندازه گیری در یک نمونه با اندازه گیری در نمونه دیگر زوج یا جفت یا همبسته می باشد. آماره این آزمون به شرح زیر می باشد: آزمون جفت نشده یا مستقل T = x 2 x S p n +, S 2 p = (n )S 2 2 + (n 2 )S 2 n + n 2 2 n 2 نحوه تصمیم گیری به شرح زیر می باشد:)اگر شرایط زیر برقرار باشد فرض صفر رد می شود در غیر اینصورت فرض صفر قابل قبول بوده و فرض مقابل رد می شود( { H 0: μ = μ 2 H : μ μ 2 T > T ( α 2,n +n 2 2) ( آزمون دوطرفه { H 0: μ = μ 2 H : μ > μ 2 T > T (α,n +n 2 2) آزمون 2( یک طرفه راست { H 0: μ = μ 2 H : μ < μ 2 T < T (α,n +n 2 2) 3( آزمون یک طرفه چپ

مثال: مسئول پذیرش یک دانشکده می خواهد میانگین نمرات ورودی داوطلبانی که در دبیرستان های روستایی آموزش دیده اند را با میانگین نمرات داوطلبانی که در دبیرستان های شهری آموزش دیده اند مقایسه کند. لذا نمونه های تصادفی مستقل از دو جامعه استخراج شده و نتایج زیر بدست آمده است. داوطلبان روستایی: تعداد نمونه 5 میانگین نمرات داوطلبان شهری : تعداد نمونه میانگین نمرات 895 انحراف معیار نمونه 55 585 انحراف معیار نمونه 52 اگر فرض کنیم که نمرات ورودی در هر دو جامعه دارای توزیع نرمال و واریانش مشترک باشند آیا می توان پذیرفت که میانگین جامعه 2 )شهری( بزرگتر از میانگین جامعه )روستایی( می باشد.) α=2/25 (

مثال: برای مقایسه شادی دختران و پسران دانشگاهی به طور تصادفی ار هر گروه 5 نفر انتخاب شده اند و میزان شادی اعضای نمونه با استفاده از یک پرسشنامه روانشناسی اندازه گیری شد نتایج به شرح زیر می باشد. با فاصله اطمینان 95 درصد آزمون نمایید که آیا شادی دختران و پسران با هم تفاوتی دارد یا نه دختر 5 59 53 52 5 پسر 85 8 82 34 3

آزمون جفت شده یا همبسته در آزمون تفاوت بین دو میانگین فرض بر این است که نمونه ها مستقل باشند ولی در مواردی مانند بررسی متوسط وزن افراد قبل و بعد از گرفتن رژیم و یا بررسی متوسط افزایش کارائی افراد پس از گذراندن یک دوره آموزشی چون نمونه های تصادفی انتخابی مستقل نیستند بنابراین از روش های قبلی نمی توان استفاده کرد در چنین مواردی به شرح زیر عمل می کنیم. ** فرض کنید دو نمونه انتخابی کوچک باشد و هر جفت ) i x) i, y مقادیر متناظر با مقادیر نمونه در دو گروه باشد و توزیع متغیر های x و y نرمال فرض شوند. S d *** ابتدا d i = x i y i را تشکیل می دهیم توزیع d i بدست آمده از نمونه ها و همچنین آماره آزمون نرمال خواهد بود. مقادیر d و را برای نتایج t = d S d n را محاسبه می کنیم. فرضیه های آماری و نحوه تصمیم گیری به شرح زیر می باشد:)اگر شرایط زیر برقرار باشد فرض صفر رد می شود در غیر اینصورت فرض صفر قابل قبول بوده و فرض مقابل رد می شود( { H 0: μ = μ 2 H : μ μ 2 T > T ( α 2,n d ) ( آزمون دوطرفه { H 0: μ = μ 2 H : μ > μ 2 T > T (α,,nd ) 2( آزمون یک طرفه راست { H 0: μ = μ 2 H : μ < μ 2 T < T (α,,nd ) 3( آزمون یک طرفه چپ

مثال: به منظور مقایسه جو سازمانی در وضعیت موجود و وضعیت مطلوب فرضیه ای به این صورت بیان شده است: «جو سازمانی موجود با جو سازمانی مطلوب تفاوتی ندارد.«برای بررسی فرضیه 5 مدیر را به تصادف انتخاب می کنیم و برای این مدیران ارزشگذاری وضع سازمانی موجود و مطلوب صورت گرفته و نتایج در زیر آمده است. با فرض نرمال بودن نمره های جو سازمانی صحت فرضیه فوق را در سطح خطای 5 درصد بررسی کنید. وضع مطلوب y وضع موجود x d i (d i d ) 2

مثال: داده های زیرنمرات 5 مدرس را قبل و بعد از یک دوره آموزش نشان می دهد آیا با احتمال 95 درصد این دوره در افزایش کارائی این مدرسان موثر بوده است یا خیر بعد y 50/0 50/0 50 55 5 قبل x 50 50 5 5 5 d i (d i d ) 2

تمرین: اقتصاد دانی می خواهد آزمون کند که آیا تفاوت معناداری بین میانگین درآمدهای خانوادگی دو گروه از خانوار ها وجود دارد یا نه برای این منظور نمونه های تصادفی به اندازه های 222 و 252 انتخاب و نتایج زیر حاصل شده است آزمون را در سطح 5 درصد انجام دهید. الف( ب( n و = 200 x و = 5530 S 2 = 560 n و = 250 x و = 690 S 2 = 5840 تمرین: محققی عالقمند است تاثیر شناخت درمانی را بر افسردگی مورد بررسی قرار دهد به این منظور دو گروه نفره از افراد افسرده انتخاب و در دو گروه آزمایش مستقل اجرا می کنیم نتایج به شرح زیر می باشد فرض برابری میانگین ها را در سطح خطای 5 درصد در مقابل فرض میانگین جامعه اول بیشتر از جامعه دوم می باشد آزمون کنید. X X2 0 5 6 3 9 8 7 2 7 4 4 5 2 تمرین: ازجامعه به طور تصادفی 8 نفر را انتخاب و هوش بهر آن ها را اندازه گیری کرده ایم داده های زیر حاصل شده است. 2-25-22-22 ازجامعه 2 به طور تصادفی 8 نفر را انتخاب و هوش بهر آن ها را اندازه گیری کرده ایم داده های زیر حاصل شده است. 22-2-22-24 فرض برابری میان گین های دو جامعه را در مقابل فرض یک طرفه )میانگین جامعه کمتر از میانگین جامعه 2 می باشد( در سطح 2/25 بیازمایید.

تمرین: محققی عالقمند است تاثیر روش تدریس الف و روش تدریس ب را بر یادگیری درس آمار را با هم مقایسه کند از این رو یک گروه از آزمودنی را شش ماه با روش الف و شش ماه با روش ب آموزش می دهد پس از هر آموزش آزمون پیشرفت تحصیلی اجرا شده است نتایج در زیر آمده است آزمون را با اطمینان 95 درصد انجام دهید. روش ب روش الف x 2 5 2 y 8 4 5 3 تمرین: پژوهشگری عالقمند است که تاثیر فیلم های خشن را بر پرخاشگری مورد پژوهش قرار دهد به همین منظور 5 دانش آموز کالس پنجم را به صورت تصادفی انتخاب می کند و ابتدا بوسیله یک آزمون پرخاشگری میزان پرخاشگری آنها را اندازه گرفته سپس فیلم مورد نظر برای آنها نمایش داده می شود و در پایان مجددا میزان پرخاشگری آنها اندازه می گیریم نتایج در زیر آمده است با یک آزمون آماری مناسب و با اطمینان 95 درصد فرض برابری میانگین را در مقابل میانگین حالت دوم بیشتر از حالت اول می باشد را انجام دهید. بعد قبل x 9 4 y 22 2 32 38 8